La loi hypergéométrique au Keno, expliquée simplement

La loi hypergéométrique décrit la probabilité d'obtenir un certain nombre de « succès » quand on tire des éléments sans remise dans une population limitée. « Sans remise » veut dire qu'un élément déjà tiré ne peut pas ressortir.

Le Keno entre pile dans ce cadre : à chaque tirage, la FDJ pioche 16 numéros parmi 56, et aucun numéro ne peut sortir deux fois. Vos numéros joués sont soit parmi les 16 gagnants, soit parmi les 40 restants. C'est tout ce dont la loi a besoin pour calculer vos chances exactes.

Si vous jouez n numéros et cherchez la probabilité d'en avoir k bons :

P(k) = C(16, k) × C(40, n − k) / C(56, n)

• C(56, n), toutes les grilles possibles de n numéros parmi 56 (le « total »).
• C(16, k), les façons de choisir vos k bons parmi les 16 numéros tirés.
• C(40, n − k), les façons de choisir vos numéros restants parmi les 40 non tirés (56 − 16 = 40).

C(a, b) se lit « combinaison de b parmi a » et compte le nombre de façons de choisir b éléments parmi a, sans tenir compte de l'ordre. La multiplication des bons choix × mauvais choix, divisée par le total, donne la probabilité.

On confond souvent loi hypergéométrique et loi binomiale. La différence tient en un mot : la remise.

• Binomiale : tirage avec remise. Chaque tirage est identique et indépendant (ex. : lancer une pièce).
• Hypergéométrique : tirage sans remise. Chaque numéro sorti modifie l'urne pour le suivant, c'est le cas du Keno.

Concrètement, au sein d'un même tirage, les 16 numéros sont liés : c'est l'hypergéométrique qui s'applique. En revanche, d'un tirage à l'autre, tout est remis à zéro : les tirages successifs sont parfaitement indépendants.

Vous jouez 6 numéros (n = 6). Voici la probabilité d'en avoir 0, 1, 2… 6 bons, calculée avec la formule. Le total des grilles possibles est C(56, 6) = 32 468 436.

La somme des 7 probabilités fait bien 100 %. On voit que le résultat le plus fréquent est « 1 ou 2 bons numéros », exactement ce que prédit l'espérance théorique : E = 6 × 16 / 56 ≈ 1,71 bon numéro en moyenne par tirage.

Curieux : l'overlap entre deux tirages consécutifs (combien de numéros reviennent d'un soir au lendemain) suit aussi la loi hypergéométrique, avec n = 16 cette fois : P(k communs) = C(16, k) × C(40, 16 − k) / C(56, 16). Son espérance vaut 16 × 16 / 56 ≈ 4,57, ce qui explique pourquoi on observe le plus souvent entre 3 et 6 numéros communs.

Voir le tableau des numéros communs d'un tirage sur l'autre →

La loi hypergéométrique donne des probabilités exactes. Elle ne donne aucune prédiction. Un numéro absent depuis 30 tirages a exactement la même probabilité d'être tiré qu'un numéro sorti la veille. Penser le contraire, c'est le sophisme du joueur. Le Keno reste un jeu de hasard : comprendre les maths aide à jouer en connaissance de cause, pas à gagner plus.

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